Matinée Mathématiques & Biologie : probabilités et EDP

Cette matinée est co-organisée par le LPMA et le LJLL.

Elle aura lieu le 3 avril 2012, sur le campus Jussieu, barre 15-16, 3ème étage, salle 3-09.

Chaque exposé durera 25 minutes, suivi de 5 minutes de questions. Une pause café aura lieu de 11h à 11h30.

Contact : amaury.lambert@upmc.fr

Programme

  • 9h30-10h
    Michèle Thieullen (LPMA)
    Sur quelques modèles du potentiel d'action
  • 10h-10h30
    Sepideh Mirrahimi (LJLL/CMAP)
    Evolution darwinienne des populations structurées
  • 10h30-11h
    Delphine Salort (Institut Jacques Monod)
    Phénomènes de synchronisation/désynchronisation pour des modèles de réseaux de neurones structurés en âge
  • 11h30-12h
    Julien Berestycki (LPMA)
    Au-delà du coalescent : quels modèles pour expliquer la diversité génétique ?
  • 12h-12h30
    Marie Doumic (LJLL)
    Problème inverse pour l'agrégation-framentation, statistiques et EDP

Résumés

  • Michèle Thieullen (LPMA)
    Sur quelques modèles du potentiel d'action
  • Sepideh Mirrahimi (LJLL/CMAP)
    Evolution darwinienne des populations structurées

Résumé. On s'intéresse à l'étude de la dynamique des populations structurées par des traits phénotypiques en fonction de paramètres écologiques de l'environnement comme les nutriments. En supposant que des ressources sont limitées, nous effectuons une étude asymptotique de la dynamique de la densité de population sous l'effet de la sélection et des mutations rares ou petites. Les solutions de ces équations, en temps grand, se concentrent en une ou plusieurs masses de Dirac qui se déplacent. En d'autres termes, à tout instant un ou plusieurs traits dominants persistent et les autres traits disparaissent. Ces traits dominants évoluent dans le temps. On étudie la dynamique de ces traits dominants à l'aide d'une équation de Hamilton-Jacobi avec contrainte.

  • Delphine Salort (Institut Jacques Monod)
    Phénomènes de synchronisation/désynchronisation pour des modèles de réseaux de neurones structurés en âge

Résumé. Cet exposé porte sur l'étude d'une population de neurones ayant une activité spontanée et excitatrice. L'objet est de comprendre d'un point de vue théorique l'impact de la force des interconnexions entre les neurones dans l'apparition de décharges rythmées et synchronisées. Le modèle utilisé est une équation structurée en âge avec éventuellement un terme de fragmentation portant sur la répartition des périodes réfractaires des neurones après qu'ils aient déchargé. On montre que la solution tend vers un état stationnaire lorsque les interconnections sont suffisamment faibles, ce qui correspond à un état totalement désynchronisé des neurones. Ensuite on décrit des régimes intermédiaires où l'on construit explicitement plusieurs classes de solutions périodiques qui traduisent l'apparition de rythmes synchronisés au sein des neurones. Ces travaux font l'objet d'une collaboration avec K. Pakdaman et B. Perthame.

  • Julien Berestycki (LPMA)
    Au-delà du coalescent : quels modèles pour expliquer la diversité génétique ?

Résumé. Depuis son introduction en 1982 le coalescent de Kingman est devenu le modèle de référence sur lequel s’appuient la plupart des méthodes statistiques en génétique des population et en analyse génomique. Dans cet exposé je présenterai quelques situations pour lesquelles une famille de modèles plus générale -les coalescents à collisions multiples- semble mieux adaptée et je présenterai des résultats récents sur la loi des partitions alléliques attendues dans ce type de modèles.

  • Marie Doumic (LJLL)
    Problème inverse pour l'agrégation-framentation, statistiques et EDP

Résumé. On souhaite estimer le taux de division d'une population dont les individus se fragmentent et croissent, ce taux de division étant fonction de la taille des individus.
Deux approches complémentaires sont possibles.
La première consiste à regarder le phénomène d'un point de vue probabiliste, en le modélisant par un processus de branchement, et en construisant un estimateur statistique (en collaboration avec M. Hoffmann, N. Krell, L. Robert).
La seconde s'appuie sur l'équation de transport-fragmentation (satisfaite par la moyenne empirique du processus de branchement ci-dessus) et son comportement asymptotique, donné par son premier vecteur propre. A partir des travaux de Perthame, Zubelli et al., une interprétation statistique des données est également possible (en collaboration avec M. Hoffmann, P. Reynaud, V. Rivoirard).
Dans cette présentation, j'esquisserai les grandes étapes de chacune de ces méthodes et une comparaison entre ces approches, approches remarquablement complémentaires pour traiter des données expérimentales sur la bactérie E. Coli.

 
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